16人討伐戰之抽裝最大效益

現今16討伐戰中有拿票來抽封晶武防，或是16人轟龍防具的機制
花的票數量以及機率如下

入場票數量	5	45	90	150	300
中獎機率	3%	25%	50%	75%	100%

100%有分劍士/槍手裝備，擇一入場

現在很多人在問，到底要怎麼抽裝最好？中獎機率最大？
我以下面2種方式來說明

提醒：本篇文章含有大量數學觀念以及運算式，如有不適請直接看結論

另外，初始條件都是還沒有開始抽獎的情況來考慮

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1. 期望值

期望值是什麼意思呢？
拿大家最常兌獎的統一發票來舉例
發票中末3碼就會有200元新台幣獎金(這邊就不考慮200元以上的金額，只算200元的就好)
而可以換200元的兌獎號碼有6個，從000~999中1000個號碼挑出來

所以理論上，每1000張連續號碼的發票可以對中1200元
但是只有6張可以中獎

以機率來說，中獎率是 6/1000=0.6%

以期望值來說，每張發票的期望值就是1.2元 (因為連續1000張就有1200元)

----------------------------------以上範例結束--------------------------------------------

用以上的表格來看

5張票期望可以換取0.03個裝備，當然裝備不可能是0.03個，都是整數
所以45張票是5x9，期望值也應該要是 0.03x9 =0.27個

但是45張票直接兌換卻只有期望得到0.25個

同樣道理，越後面的入場票數越來越多，但是期望值卻越來越低
以5張、5張這樣換來說，只要換33次 5x33=165(張) 期望得到 0.03x33=0.99(個)

換句話說，想拿到1個裝備只要用5張票換33次就能期望中一次
(連續1000張發票就期望有1200元的價值)

你可能會懷疑，真的可能這樣就中獎嗎？
當然，用統一發票這種連續1000張一定會中1200元的例子來講可能不太恰當

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2.排容原理

簡單來說就是一種只求某種或某幾種集合的原理 (看不懂請直接略過)

算式是： P(A∪B) = P(A)+P(B) - P(A∩B)

一樣簡單說個例子

某個班上有40個人，國文及格人數是30人，英文及格人數是20人，兩科都及格的人有15人
兩科都不及格的有多少人？

P(A)是國文及格人數，P(B)則是英文，P(A ∩ B)就是兩科都及格
所以要找的就是全部人數減去至少有一科及格的人數，就是都不及格的人啦~

P(A∪B)=30+20-15=35 <--- 至少有一科及格

40(所有人) - 35(至少有一科及格的人) = 5 (都不及格的人)

----------------------------------以上範例結束--------------------------------------------

同樣套用到這個問題，現在要算的問題就是

(1) 當你用5張連續抽了9次(45張)，至少中獎一次的機率是多少？
(2) 當你用5張連續抽了18次(90張)，至少中獎一次的機率是多少？
(3) 當你用5張連續抽了30次(150張)，至少中獎一次的機率是多少？

由這樣的算法，就能知道用哪個方式抽會比較划算
如果45張內至少中一次的機率大於25%，那就全用3%抽就好啦 ~~~ 您說是吧？

P(A)表示中獎，所以 P(A) = 3%
P(B)表示槓龜，所以 P(B) = 97%

不過一但 P(A) 發生了， P(B) 絕對不會發生，反過來亦同，所以兩者互斥
上面那句話的意思就是，你抽了一次，絕對不會同時發生中獎又槓龜的事情
中獎了就是中獎，沒中就是沒中

所以 P(A|B) = P(B|A) = 0

從假設的條件中來看，可以得到這3題的答案
以下機率都用四捨五入到整數

(1) 100% - P9(B) = 24%

(2) 100% - P18(B) = 43%

(3) 100% - P30(B) = 60%

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結論：

不要花5張抽3% !!!!

用期望值的方式乍看之下好像很容易抽到，但是一但用了條件機率就發現事情沒這麼單純
就像你雖然蒐集了500張發票，但是卻對不到600元一樣的道理 (眼神死)

雖然如此，但一次花個好幾十張抽一次當然心臟要大顆點
因為沒中就是沒了 XD 抽多次好像還有一點可能性

希望這次的文章會有點幫助~